陈 静 黄姗姗
运算律的应用遍及整数四则运算、有理数四则运算以及复数四则运算等。运算律的教学中所蕴含的丰富的学科基本思想、方法和精神，是数学学科核心素养的重要目标。运算律是小学阶段典型的数学运算法则。苏教版教材既把运算律当成优化计算方法的依据，又把其看成发展推理意识和模型意识的教学载体。运算律的教学过程是让学生适度经历一次由特殊到一般、由具体到抽象的概括过程[1]。《义务教育数学课程标准（2022）》要求能说出运算律的含义，并能用字母表示；
能运用运算律进行简便运算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力[2]。学生在学习5 个运算律时，都要经历情境表征（观察具体算式）、活动表征（写算式验证）、语言表征（表述规律）、图形和符号表征（字母表示规律）的系列学习过程[3]。因此在这一系列的学习过程中，教师要充分利用运算律的教学，帮助学生积累推理经验，感受模型思想，提升运算能力，发展核心素养。
（一）简化对规律的探索过程
部分教师在教学时不关注对运算律形成过程的探索，未能遵循科学探究的一般程序和方法，缺少规则建构的环节，导致学生缺乏对运算律规律的探究和思考。其一，教师在学生根据情境得出算式后，仅引导学生观察等式，说出数字之间的位置关系，很少根据例题的具体内容帮助学生理解等式的合理性。其二，在通过初步观察、对比得出运算律后，需要验证运算律时，学生只是照样子仿写了算式并直接用等号连结，并没有真正算出答案去验证仿写的等式是否成立。教师在无形中把“验证规律”与“应用规律”的含义混淆了。此时，教学过程仍处于验证阶段，并没有正式归纳得出运算律。因此，教师要遵循科学探究的一般程序和方法，完善验证阶段。
究其原因，主要是教师在引导学生经历运算律的推理过程中，需要不停地从学生的反馈中提取有效信息，迅速地对其推理能力做出预判，及时调整下一步教学内容；
学生则需要全身心投入，保持高昂的学习热情和持续的思维参与。因此，在有限的时间内，对教师的教与学生的学都是不小的挑战，教师要在有限时间内合理安排教学内容。
（二）忽视对运算律内在本质的认识
运算律的教学一般按照情境表征（观察具体算式）、活动表征（写算式验证）、语言表征（表述规律）、图形和符号表征（字母表示规律）的顺序进行。在教学过程中，教师是在数据的呈现中展开教学活动，学生也是在数据的特征中寻找规律。由于对数据的过度关注可能会使学生在刚刚学习运算律的时候缺乏对算式的整体结构的意识，难以构建运算律的模型。比如乘法分配律，它建立了乘法与加法之间的联系，是一种学生很难理解的运算律。很多教师在讲解乘法分配律时，会用画线的方法帮助学生记忆（如图1）。如果离开了数据，离开了字母，学生就不知道乘法分配律为什么会产生这种形式上的变化。虽然学生起初会按照记忆模仿，但很快就会遗忘或出错。例如，学生在做题时有时会出现以下情况：先用c 乘a，再将所得的积直接加b，导致出现漏乘的现象。还有的学生在遇到类似25×32 的题目时，做法如下图（如图2）。
图1
图2
显然，学生将乘法结合律和乘法分配律也就是a×（b×c）和a×（b+c）混为一谈。出现这些问题的原因，就是教师过度关注对规律“外形”的研究和记忆，缺少对规律“内在”本质的探究；
教师仅仅通过不完全归纳法发现它“是什么”，却不提“为什么”变成这样。忽略对运算律内在本质的认识导致学生对乘法分配律的意义不清楚，对模型特征体验不深刻，对模型意识领悟不透彻。
（三）缺乏对运算律融合拓展意识的练习
部分教师对运算能力的理解有误差，出现练习简单化的现象。学生缺乏对运算律的内在联系的敏锐感知，在进行多种融合型的简便计算时不能融会贯通。单调乏味的练习最终导致了学生完全处于被动练习之中，缺乏自主简便计算的意识。教师总是布置相同题型进行反复训练，生硬地记忆运算定理，导致学生在运用运算律计算时思维定势严重，固化于某一种思路和方法，甚至在简便计算时会受到知识负迁移的影响。
其主要原因就是练习过程中缺乏融合拓展型练习。教师呈现的练习题停留在教学的最初阶段，即运算律的内容是什么，题型固定，缺乏融合。如在练习乘法分配律时，一再强化像59 × 15+141 × 15 或201 × 47 这类题目，而忽视了如111 × 36+8 × 888 这类需要考验学生对运算意义、算理算法的理解，需要学生融合所学运算律内容进行解决的变式题。
（一）启发说理，渗透推理意识
发展推理意识，既可以让学生养成讲道理、有条理的思维习惯，也可以培育实事求是、一丝不苟的学习态度。培养学生的推理意识，主要依托小学数学课程内容（多为算术计算性知识）完成。数与代数的知识不仅仅关乎学生的运算能力，还可以用来培养学生的推理意识和推理能力。“启发学生说理，是培养推理能力初级教学阶段最主要的手段与基本途径。”[4]
例如，在乘法分配律一课教学中，“四年级有6 个班，五年级有4 个班，每个班领24 根跳绳。四、五年级一共要领多少根跳绳？”学生在根据题意写出等式（6+4）×24=6×24+4×24后，教师提出问题：“等号左右两边不同的式子，但计算结果确相等，你是怎么想的？用喜欢的方法表示出来。”学生独立思考后，根据个体的认知水平和已有经验，会出现不同的表达方式。教师引导学生从计算、举例、画图等多个角度来进行说理，从而帮助其理解这两个式子相等是符合逻辑的。比如，通过画图说理，下图中圆的总个数既可以看成每排有（6+4）个圆，共有24排，用算式表示为（6+4）× 24；
也可以是两个部分合并起来，用算式表示为6 × 24+4 × 24。让学生经历观察—猜想—验证—归纳这样从一般到特殊的过程，充分感悟规律探索的严谨性，有机地渗透推理意识。
（二）多样表征，发展模型意识
1.建立模型的过程。当学生用语言说出运算律的基本内容后，教师就要鼓励学生用喜欢的方式把规律表示出来，即形成模型意识。语言表征是基础，而图形表征与符号表征则代表着建构数学模型。以加法交换律为例，在总结归纳出加法交换律后，教师可以启发学生用自己喜欢的方法把这个规律表示出来，让学生初步构建具有“个性”的加法交换律模型。学生通常能想到的有“x＋y＝y＋x”“甲＋乙＝乙＋甲”“○＋△＝△＋○”“A＋B＝B＋A”等。接着教师再引导学生观察对比这几种表征方式，发现个性化表征的加法交换律模型数量多且不便于交流，不具有普适性。此时，自然地将个性化表征的加法交换律模型抽象成字母的模型“a＋b＝b＋a”。这样从语言表达到文字表达，再到图形表达，直至最后的符号表达的整个过程，学生都全程参与。在具体问题的基础上，揭示出一般的数学规律，感受“数学家式”的再发现过程，数学模型思想的教学价值便呼之欲出。
图3
2.对模型进行再认识。教师还要有意识地将学生的注意力引向对模型的观察，加深对算式结构“内在本质”的理解。比如乘法分配律的本质是“把c 组（a+b）分成c 个a 加c 个b”或“把c 个a 加c 个b 合成c 组（a+b）”，当学生能有这样的理解时，就能顺理成章地总结出乘法分配律的模型就是“（a+b）×c=a×c+b×c”。教师要抓住不变的“理”帮助学生理解变化的“形”，让学生对模型有充分感知和深入理解。
这样从特殊到一般，从一般到特殊，再从特殊到一般的过程，也是对模型再认识的过程，把乘法分配律的内在本质展现得清楚明白。
（三）应用练习，提升运算能力
运算律的教学价值之一即提高学生的运算能力。不管哪种运算方法背后都存在着运算律，而运算方法的选择影响着运算能力的发展，可见运算律与运算方法、运算能力密不可分。教师要从单纯的计算走向问题的解决，从说教灌输走向学生的自我认知，从能算、会算走向合理地算、简洁地算。
1.结合生活实际。运算能力的培养既包括运算技能的逐步提高，又包括解决问题能力的提升。首先，学生的知识经验大多来自生活实践，运算能力与生活中的问题密不可分。5个运算律的练习设置，教师应引导学生结合生活实例加以理解，促进数学知识的理解和应用。例如，“4 ×（25+13）=4 × 25+4 × 13”算式成立吗？请你编一个故事或画图来解释。编故事或画图形的形式既增加了题目的趣味性，又能与实际生活相关联，同时还能评价学生对运算律意义是否真正理解。
2.灵活运用多种方法。教师还需要精心设计、合理选择习题，促使学生找到多样化的运算途径解决问题。学过了分配律之后，教师可以设计这样的习题：你可以用多种方法计算86×3 吗？学生既可以选择竖式计算，也可以选择先把86 分为“80+6”，也就是“（80+6）×3”，然后根据乘法分配律计算“80×3+6×3”，从而算出结果。学生经历了理解、内化和运用运算律的过程，有利于灵活选用运算方法解决问题。
3.整体化认知练习。当然，要使学生会用数学的思维思考现实世界，教师就要有数学的思维，要对学生已有的知识经验熟记于心，这样才能引领学生将知识建构成系统化、结构化的体系。练习时可以布置口头作业，比如当学生总结出乘法分配律后，可以引导学生联系以前学过的知识，如“长方形周长”计算的两种方法、“两、三位数乘两位数”的竖式计算等说明乘法分配律在数学中的广泛运用。接着还可以让学生大胆猜想乘法分配律的推广是否适用于乘法对减法乃至小数和分数的四则运算中。这样，就将运算律知识前后关联，构建了结构化的知识网络。
小学数学运算律教学中教师要强化对规律的探索过程和对规律本质的认识，帮助学生累积推理意识，感受横型思想，提升运算能力，发展学生核心素养。
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